关于 2025 年三套模考数学试题部分题目的分析
2025年4月初，笔者尝试了三套全国范围内的高考模考题型，其中部分题目比较创新，做着不是很顺畅，一一列举并且分析一下：
2025 湖北 T8 3月联考
第3题
这道题考察常用逻辑用语，以糖水不等式为背景，看上去很舒服，实际上很多陷阱，最大的一个就是：
$$a<b$$
一般我们会觉得 $a<b$ 就意味着是个真分数然后开开心心用不等式，但是没有考虑到有可能是负数的情况！
一个可行的通用解法是，对 $b(b+m)$ 与0的大小关系讨论之后再交叉相乘然后判断（当然特殊值一下子秒了）
第7题
先不说这个数据丑得要命，就算数据好看，考场上为了一道单选题真套公式算经验回归直线的参量那就真完了，这里的理论最快解法就是：画散点图，自己去拟合直线出来，拟合出来了一下子对号入座就完了。
第11题
曲线就是 $y=x-\frac{2}{x^2}$，一个勉强还能操作的函数，怎么操作最快呢？
A. 代入 (1,-1) 结束
B. 假设这是对的，那就取极限看看：x趋近-∞，0-，0+，+∞，确实是这样，结束了
C. 同构，C和E就是x与y换了一下，B我们已知渐近线是y=x，那x一定不等于y，不会有交点
D. (1,-1) 在O上，斜率为sqrt2+1的直线就是(1,-1)和(sqrt2,0)，代入x，y=sqrt2，确实比这个题目给定的斜率大，放心选
第14题
标准解法看上去很麻烦，这样做很快，但是不知道可不可以：
$$f(m+n)>f(m)+f(n),m>0,n>0$$
实际上就是这个函数在单增，而且越增越猛；同时这个增长的速度就是和m（或者n）一次相关的，那么我们就让 $f(x)>x$，这样算出来恰好取值范围就是答案。
招笑了，这个解法是荒谬的，不过稍加尝试还是可以挽回一下下的（捂脸）
根据 AI 的分析，这个条件等价于
$$f(x)\space是凸函数且 f(0)≤0$$
也就是说，满足条件的函数必须是凸的，并且在原点处的值不超过0（若定义在0处）。这确保了函数在所有正数 m 和 n 下满足严格超加性。这样的话，笔者的解法也相对来说有点道理。
第19题
这道题的最难的是第一小问第二小小问，难点在于Q如何计算。
作业帮上面和官方答案找的解法都不是很好，这里引用一下B站龚老师的解法：
一个J延拓中，所有在中间的数都会左边乘一个，右边乘一个，唯独只有一头一尾是只乘了一次，所以
$$Q_{n+1}=Q_n×(\frac{Q_n}{-1})^2×(-1)=-Q_n^3$$
平方里面的是去头去尾，后面是乘回来这个尾巴。
不难得到 $Q_n = (-1)^{n+1}×2^{3^n}$（猜几个就出来了），很明显这个绝对值主要还是以Q为主的，代几个数进去就可以得到n的最小值了
2025 武汉二调
这套卷子必须得着重拿出来说几句。这套卷子的难度是三套卷子里面最难的一套（自评），每道题都足够创新，大题更是重量级，除了第一个导数还好，其他是一道比一道阴间……
第11题
A和B好算，CD让人摸不着头脑，怎么办？
先用排除法，当n=1时，C是不成立的。如何详细的说明C和D的正确性？
说实话，从递推的角度入手，想了几十分钟，拿着 AI，作业帮一起想，都没想出什么名堂，但是B站上面一个视频从这个集合是怎么生成的角度入手，笔者认为一下子讲通透了，太妙了
（B站 凉学长）试分析完美集是怎么产生的。例如一个集合
$${1,2,3,4,5,6,7,8,9}$$
要求9阶完美集，可以这样入手：
- |A| = 1，min(A) = 1，从1到9选一个，9C1
- |A| = 2，min(A) = 2，从2到9选两个，8C2
以此类推，就从nC1，(n-1)C2一直加下去就行了！
C选项：|A|>1，那么min(A) = 2，要求又必须有最后一个n+2，那就从前面选择就行；D也是同理的，只需要把两边的数据拿来化简对比就可以了。
第14题
注意到体积相等，但是作为小题不可能直接算体积去表征，所以转而去转化等量关系。两个锥体共用QAD这个面，那么有$$V_{Q-PAD} = V_{P-QAD},V_{Q-ABCD}=2V_{C-QAD}=3V_{B-QAD}$$
后面的面积关系是用等高不同底代换的。这样就可以得到QAD平面截BPC的比例关系，从而得到Q的轨迹（直线），在三角形里面作垂线，得解！
第16题
这道题尤其让人意料不到的一点是向量夹角的最值如何处理。
$$\overrightarrow{BC}=(0,8-t,-t),\overrightarrow{AD}=(0,9-t,-t),0≤t≤8$$
如何计算向量夹角余弦值的最值？
如果我们使用正常的计算方法（夹角公式），那几个根号根本算不动，就算是机器也难以直接处理，导数零点满足这个方程：
$$2(4t−17)(2t2−16t+64)(2t2−18t+81)−(2t2−17t+72)⋅((4t−16)(2t2−18t+81)+(2t2−16t+64)(4t−18))=0$$
使用MMA是可以解的，但是考场上怎么会有MMA呢？一定是有其他另辟蹊径的方法。
注意到这两个向量的第一分量为0，第三分量相同，只有第二分量有区别，所以我们把二三分量单独提取出来然后利用正切计算，后续就迎刃而解了。
但是问题来了，这个方法可以推广吗？我在什么时候才能/需要使用这个方法？万一我注意不到怎么办？
（AI 生成）这种方法适用于以下情况：
向量具有某种对称性或特殊结构：
- 比如第一分量为 0，或者某些分量相同。
问题可以投影到一个平面：
- 如果向量的某些分量对夹角没有贡献（如第三分量相同），可以忽略这些分量，专注于对夹角有贡献的分量。
当然，笔者认为 AI 还是没有在这方面搞透彻，需要更多的例子来学习使用这种并不常规的计算方法。
第18题
大题靠后概率题特有的理解困难+实现困难。这道题的关键在于读题。
第一小题：甲的比赛情况满足二项分布，比三场连赢；其他七个人是等效的，平分剩下的概率（想到这里，就已经超过AI的思考量了）
第二小题：全概率，是B在预赛碰A、半决赛碰A、决赛碰A三个分情况的概率和；碰到A意味着一个合理的预赛位次顺序，以及A同样晋级了这场比赛。
第三小题：
法一：在第一小题中计算了B获胜的概率，减去第二小题的概率就是B没碰上A。碰上其他六个人是等效的，全概率，是B碰A碰C夺冠和B不碰A碰C夺冠的概率和，碰上A了，跟B比的三个坑位只有两个可能出现C（A占了一个），而没碰上A的，三个坑位都有可能出现C。
法二：全概率，是B在预赛碰C、半决赛碰C、决赛碰C三个分情况的概率和；碰到C意味着一个合理的预赛位次顺序，以及C同样晋级了这场比赛。对于C晋级比赛的情况，又要看C是否碰上了A，C碰上A和B碰上A的情况应该是一样的，因为除了A之外其他是等效的，但是这个方法计算量会更大，不好实际处理。
2025 天域 3月联考
第19题
这道题是一道以二进制为背景的数列题目，如果把数据变成二进制，那几乎能够直接解决这个问题（B站墨思数学）：
第二问：
第一小问，不妨 $a_n=n$，那么如果把所有数减去1再变为二进制，就会有（当m=3）
$$000,001,010,011,100,101,110,111$$
经过T变换后变成了
$$000,010,100,110,001,011,101,111$$
发现刚好就是把每个数的首位放到最后进行移位，所以移位的次数刚好就是位数m，才能循环回去！
第二小问，就是中间的移位顺序都不能重复的意思。那么问题来了，对于什么m，才能让每个数进行移位后都不会出现重复呢？显然是质数（没有重复单元可供循环的）！
要说明也很容易，如果不是质数，总能找到以公因数为单位的“1+0”组合，如当m=9时可以出现一个100100100，循环3次变回去重复；当m=8是可以出现一个10101010，循环两次变回去重复，所以m只能是质数。
10以内的最大质数是7。